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体会数学模型思想

来源:金祥彩票2019-04-18 10:25

摘要:

  一看到“模型”这个词,你首先想到的是什么?汽车模型?飞机模型?这些都是依照实物的形状和结构按比例制成的物品,那么什么是数学模型?数学模型思想是如何体现的?本文以二元一次方程组为例,带领大家认识数学模型,体会数学模型思想.  一、接触数学模型――“鸡兔同笼”问题  “鸡兔同笼”问题(如图1)是一个经典名题,在许多教材中都出现过,对于我们七年级的学生而言,解答这一问题,可以让我们从已有的经验出发,...

  一看到“模型”这个词,你首先想到的是什么?汽车模型?飞机模型?这些都是依照实物的形状和结构按比例制成的物品,那么什么是数学模型?数学模型思想是如何体现的?本文以二元一次方程组为例,带领大家认识数学模型,体会数学模型思想.


  一、接触数学模型――“鸡兔同笼”问题


  “鸡兔同笼”问题(如图1)是一个经典名题,在许多教材中都出现过,对于我们七年级的学生而言,解答这一问题,可以让我们从已有的经验出发,利用二元一次方程组列式简单、易于理解的特点,经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程,体会数学模型思想,提高举一反i的应用能力.


  我国古代数学著作《孙子算经》中介绍过“鸡兔同笼”问题:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何,意思是:有若干只鸡和兔在同一个笼子里,从上面数有35个头,从下面数有94只脚,笼子中的鸡和兔各有多少只?


  据说在日本也有类似的问题,如“龟鹤同游”问题:龟鹤同游,共有40个头,112只脚,龟和鹤各有多少只?类似的问题还有很多,如“人狗同行”问题等.


  观察图2,再经过比较不难发现,这类问题有着相似的特征,即鸡、鹤、人都有2只脚,兔、龟、狗都有4只脚,这就给我们这样的启示:应当存在一种通用的解题方法,对于上述三个问题及与之类似的问题都是适用的.


  基于以上分析,请大家看看我们在不同阶段是如何解决“鸡兔同笼”问题的,这一方面能让我们了解什么是数学模型,另一方面也能让我们体会到用哪种数学模型解决问题更简单,更容易理解.


  1.算术解法.


  分析模型:脚的总数÷2―头的总数=兔只数,头的总数一兔只数=鸡只数.


  建立模型:列出算式,得94÷2-35=_____,35-____=___.


  解答模型:鸡有23只,兔有12只.


  验证模型:23只鸡和12只兔恰好有35个头,每只鸡有2只脚,每只兔有4只脚,23只鸡和12只兔恰好有94只脚,故结果正确.


  2.利用一元一次方程求解的方法,


  分析模型:鸡的脚数+兔的脚数=脚的总数,鸡的脚数=2x鸡的头数,兔的脚数=4x兔的头数=4x(头的总数一鸡的头数).


  建立模型:列一元一次方程(将文字语言抽象为数学符号).


  设鸡有x只,则兔有(35-x)只.


  从而可得2x+4(35-x)=94.


  解答模型:解一元一次方程,得x=23.


  故35-x=12.


  所以鸡有23只,兔有12只,


  验证模型:同算术解法.


  3.利用二元一次方程组求解的方法.


  分析模型:鸡的头数+兔的头数=头的总数,鸡的脚数+兔的脚数=脚的总数.


  建立模型:列二元一次方程组(将文字语言抽象为数学符号).


  二、剖析数学模型思想――本质与作用


  根据以上解题过程可以发现,其实无论用哪种方法求解“鸡兔同笼”问题,都体现了数学模型思想,都经历了分析模型、建立模型、解答模型、验证模型这四个步骤.所谓数学模型,就是利用数学语言将实际问题中的主要关系、主要特征近似或概括地表示出来,从而得到的一种数学结构.数学模型思想体现在从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,最后求出结果并讨论结果的意义.


  从前面“鸡兔同笼”问题的解答中我们会发现,对于同一个问题,解决问题的数学模型可以有多种,而我们一般会选择最简单的一种,在前面的几种解题方法中,算术解法看起来简单,但理解起来不是很容易;一元一次方程解起来比较简单,但为了弄清未知数之间的关系,列式的时候需要费点脑筋:而二元一次方程组则比较直观,列式也简单,特别是对于一些数量关系比较复杂的问题,借助二元一次方程组模型可以很快弄清题中的数量关系,解答起来既简单又准确.


  三、体会数学模型思想――“驴骡伏货:问题


  为了进一步认识数学模型并学会运用数学模型思想,我们再来探讨一个“驴骡驮货”问题,这是《希腊文选》中的一个问题.


  驴子和骡子驮着货物并排走在路上,驴子不停地埋怨自己驮的货物太重.骡子对它说:“你发什么牢骚?我驮的货物比你驮的货物更重.倘若你给我1袋货物,我所驮货物的袋数将是你所驮货物的袋数的2倍:而如果我给你1袋货物,咱俩驮的货物才刚好一样多.”驴子和骡子各驮几袋货物?


  鉴于“鸡兔同笼”问题已经为我们打下了基础,下面我们就直接运用数学模型思想解决这个问题.


  分析模型:由骡子的话可以知道,骡子所驮货物的袋数+1=2x(驴子所驮货物的袋数一1),骡子所驮货物的袋数-1=驴子所驮货物的袋数+1.


  所以驴子驮5袋货物,骡子驮7袋货物,


  验证模型:若驴子给骡子1袋货物,则驴子所驮货物为4袋,骡子所驮货物为8袋,骡子所驮货物的袋数是驴子所驮货物的袋数的2倍;若骡子给驴子1袋货物,则驴子和骡子所驮货物均为6袋,刚好一样多.故结果正确,


  对于这个问题,如果列一元一次方程求解,则不易弄清数量关系,而用二元一次方程组求解就很简单,也很容易理解.


  通过以上分析,大家应该对数学模型、数学模型思想有了初步的了解.并且发现方程是刻画现实生活中数量关系的重要模型.如果我们在头脑中形成了数学模型思想,那么解题就会变得更加容易.


  今后我们在学习数学知识时要注意培养数学模型思想,要能够举一反三,触类旁通.只有这样,我们在解题时才能做到游刃有余.

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